با زیباترین اثبات‌های ریاضیات آشنا شوید

«پال اردوش» (Paul Erdős)، فیلسوف و ریاضیدان عجیب‌وغریب قرن بیستم برای توصیف ریاضیات، می‌گفت که «خدا»، کتابی در اختیار دارد که حاوی تمام فرمول‌ها و قضایای کامل ریاضی است. زمانی که او می‌خواست به بهترین وجه، تحسین خود را نسبت به یک اثبات ریاضی زیبا نشان دهد، آن را به همین «کتاب بهشتی خدا» نسبت می‌داد.

پال اردوش را «اسقف اعظم ریاضیات» هم نامیده‌اند. او به نقاط مختلف در جهان سفر می‌کرد تا خبرهای خوب ریاضی را به گوش همه برساند. او در صحبت‌هایش، گاهی از کلمات مذهبی (کلیسایی) هم استفاده می‌کرد تا زیبایی ریاضی را بیشتر به مخاطبانش نشان دهد و حتی سخنرانی‌هایش را «موعظه» می‌نامید.

سال ۱۹۹۴ (۱۳۷۳)، مارتین آیگنر (Martin Aigner) پس از صحبت با اردوش در محل «انستیتو تحقیقات ریاضی اوبروولفاش» (Oberwolfach) در آلمان، به این فکر افتاد که این کتاب را جمع‌آوری کند. او از گانتر زیگلر (Günter Ziegler) هم برای این کار دعوت به عمل آورد و هر دو با کمک هم، شروع به جمع‌آوری اثبات‌های زیبای ریاضیاتی کردند. در این راه، اردوش هم گاهی به آنان کمک می‌کرد. نتیجه این کار، چاپ کتاب «اثبات‌هایی از «کتاب»» (Proofs From THE BOOK) در سال ۱۹۹۸ (۱۳۷۷) بود. بااین‌حال، عمر اردوش به دیدن نسخه نهایی این کتاب، قد نداد و او، ۲ سال بعد از آغاز پروژه و در سال ۸۳ سالگی از دنیا رفت.

به گفته آیگنر و زیگلر که هر دو استاد «دانشگاه آزاد برلین» هستند: «بسیاری از اثبات‌ها مستقیما از اردوش به دستمان رسیده بود. او با دیدگاه‌های عالی و فوق‌العاده‌اش می‌توانست سؤال‌های درست را بپرسد و به نتایج درست هم برسد.»

در این کتاب که گاهی «نیم‌نگاهی به بهشت ریاضیات» (a glimpse of mathematical heaven) هم خوانده می‌شود، ده‌ها اثبات مختلف از رشته‌های مختلف ریاضی‌مانند نظریه اعداد، هندسه، آنالیز، ترکیبیات و نظریه گراف را خواهید یافت. در طول ۲۰ سالی که از چاپ آن گذشته، ۵ ویرایش مختلف از آن منتشر شده است که هرکدام، اثبات‌های بیشتری نسبت به ویرایش‌های قبلی خود داشته‌اند. این کتاب‌ها تا امروز به ۱۳ زبان مختلف هم ترجمه شده است.

زیگلر در ژانویه ۲۰۱۸ (دی ۱۳۹۶) به سن‌دیگو (کالیفرنیا) رفت تا «جایزه استیل ۲۰۱۸» (2018 Steele Prize) را برای نوشتن این کتاب دریافت کند. در متن همراه با این جایزه آمده است: «میزان فشردگی ایده‌های ظریف در هر صفحه از این کتاب به طرز خارق‌العاده‌ای بالاست.»

نشریه کوانتا (Quanta) هم در مصاحبه‌ای با زیگلر در مورد ریاضیات زیبا (و زشت) به گفتگو نشست. خلاصه‌ای از این مصاحبه را تقدیم حضورتان می‌کنیم.

 

* شما پیش‌تر گفته بودید که آقای آیگنر هم مانند خودتان حس مشابهی در مورد اثبات‌هایی که در کتاب آورده‌اید، دارد. شما این حس زیبایی‌شناختی را چگونه توضیح می‌دهید؟

– ما همیشه از دادن تعریفی برای یک اثبات کامل، طفره رفته‌ایم. دلیل آن هم خجالت نیست، بلکه مشکل اینجاست که هیچ تعریف مشخصی برای آن نداریم. البته بااین‌وجود، می‌توانیم ویژگی‌هایی را برای آن در نظر بگیریم. برای مثال، یک اثبات زیبا نباید زیادی طولانی باشد؛ باید شفاف باشد؛ باید یک ایده خاص باشد و درنهایت، یک اثبات ممکن است چیزهایی را به هم ارتباط دهد که در ظاهر به نظر نمی‌رسد باهم مرتبط باشند.

برای بعضی قضایا، اثبات‌های مختلفی برای انواع مختلف خوانندگان وجود دارد. ولی اصولا اثبات چیست؟ اثبات درنهایت خواننده را متقاعد می‌کند که چیزهایی که خوانده، درست بوده‌اند. به همین ترتیب، میزان زیبایی و قابل‌فهم بودن یک اثبات به میزان دانش خواننده هم ارتباط خواهد داشت. اینکه او چه می‌داند، چه چیزی را دوست دارد و چه چیز برایش بدیهی است؟

 

* ما می‌دانیم که بعضی اثبات‌ها طولانی هستند. این کاملا عادی است، ولی چرا در کتاب شما، اثباتی وجود ندارد که برای مثال، ۱۰۰ صفحه جا گرفته باشد و در هر صفحه، یک ایده شگفت‌انگیز را معرفی کرده باشد؟ آیا این به آن معنی است که کتاب شما با کتاب بهشتی کامل، تفاوت زیادی دارد؟

– خیر، ماجرا برعکس است. ما خیلی هم خوشحال می‌شویم که در یک اثبات، ایده شگفت‌انگیزی را معرفی کنیم، ولی پیدا کردن اثباتی که دو نکته خارق‌العاده در خود داشته باشد، به طرز چشم‌گیری سخت‌تر است. پس می‌توانیم حدس بزنیم که پیدا کردن اثباتی ۱۰۰ صفحه‌ای با یک ایده شگفت‌انگیز در هر صفحه، تقریبا غیرممکن خواهد بود.

برای مثال، روش «اندرو وایلز» (Andrew Wiles) برای اثبات «آخرین قضیه فرما»، می‌تواند بالغ بر ۱۰۰ صفحه جا بگیرد. البته به این هم بستگی دارد که در ابتدای کار، چه میزان از فرض‌های نظریه اعداد را به شکل بدیهی پذیرفته باشیم. به همین ترتیب، شاید بتوانیم اثباتی را که در کتاب اصلی آورده شده است، شکل ساده‌شده‌ای از اثباتی بدانیم که به ۱۰۰ صفحه هم نیاز نداشت. البته این اثبات در کتاب ما قابل‌چاپ نبود، چون از حوصله متن خارج بود؛ هم از نظر فنی و هم از نظر لایه‌های تئوری. از نظر تئوری، اثباتی که بیش از ۱۰ صفحه جا نیاز داشته باشد، برای کتاب ما خوب نخواهد بود؛ بنابراین، کمی بیشتر صبر کنید.

 

* زمانی که یک اثبات زیبا را تجربه می‌کنید، آیا حسی معنوی در شما ایجاد می‌شود؟

– این حس بسیار قدرتمند است. چنین لحظاتی را به شکلی زیبا و هیجان‌انگیز به یاد می‌آورم. همین‌طور شادی زیادی همراه با آن وجود دارد. نقل‌قول مشهوری از «جی. اچ. هاردی» (G. H. Hardy) وجود دارد که می‌گوید: «در دنیا هیچ جایی برای ریاضیات زشت وجود ندارد.»

برای ما اولین قدم معمولا این است که اثباتی می‌نویسیم و بعد ممکن است به خودمان بگوییم: «من کلی کار کردم، اثبات را به دست آوردم، ولی ۲۰ صفحه جا گرفته و خیلی هم زشت است. کلی محاسبات دارد، اما درست است، کامل است و من به آن افتخار می‌کنم.» بعد، اگر نتیجه جالب باشد، به سراغ کسانی می‌رویم که کمک می‌کنند اثبات را ساده‌تر کنیم. در همین حین، سعی می‌کنیم ایده‌هایی جالب را به آن بیافزاییم، آن را زیبا و زیباتر کنیم تا درنهایت، اثباتی درخور کتاب نوشته باشیم.

اثبات «قضیه کینیزر» (Kneser) توسط «لاسلو لواس» (László Lovász) را در نظر بگیرید. مردم زیادی اثبات او را نمی‌خوانند، چون خیلی زشت است. دلیلش هم آن است که در آن زمان، لواز چیزی در مورد ابزارهای توپولوژیک نمی‌دانست، بنابراین می‌بایست کلی چیزهای مختلف را ابداع و سر هم کند. بلافاصله بعد از او، «ایمره بارانی» (Imre Bárány) اثبات دیگری برای این قضیه پیدا کرد که از «قضیه بورسوک-اولام» (Borsuk-Ulam) استفاده می‌کرد و به نظر من خیلی زیباتر و سرراست‌تر بود.

چنین اثبات‌های کوتاه و غافلگیرکننده‌ای، نیاز به اعتمادبه‌نفس زیادی دارند. یک راه برای اعتمادبه‌نفس پیدا کردن آن است که بدانید روشتان درست است. اگر شما بدانید که چیزی درست است، چون فلانی آن را اثبات کرده، پس می‌توانید جرأت پیدا کنید و بگویید که: «چه راهی برای بیان زیبا و ظریف این روش وجود دارد؟» پس به نظرم به این شکل می‌توانیم بدانیم که حتی اثبات‌های زشت هم نقش مهمی در کار ما ایفا می‌کنند.

 

* شما در حال حاضر دارید ویرایش ششم کتاب را آماده می‌کنید. آیا این ویرایش‌ها ادامه خواهند داشت؟

– در ویرایش سوم کتاب، ما برای اولین بار گفتیم که این دیگر آخرین نسخه کتاب خواهد بود و در ویرایش پنجم هم همین ادعا را در پیشگفتار، مطرح کرده‌ایم؛ اما همان‌طور که گفتید، در حال آماده کردن ویرایش ششم آن هستیم.

زمانی که مارتین آیگنر در مورد ایده کتاب با من صحبت کرد، بحث از این بود که آن را یک‌بار و به شکلی زیبا و مطلوب انجام بدهیم و کار تمام شود؛ اما این کتاب واقعا ما را از سال ۱۹۹۴ (۱۳۷۷) با ویرایش‌های جدید و ترجمه‌های مختلف، مشغول خود نگه داشته است. حالا مارتین بازنشسته شده و من به‌عنوان رئیس دانشگاه منصوب شده‌ام؛ بنابراین فکر نمی‌کنم دیگر زمان و انرژی ویرایش‌های بعدی کتاب را داشته باشیم. پس به نظر می‌رسد که ویرایش ششم، آخرین ویرایش خواهد بود.

منبع: کوانتا، ترجمه: سید معین عمرانی